terimlerarasında daha küçükler varsa, onların en küçüğü olan terimle takas eder. O terimi en sola koyar; bu terim sıralama sonunda ilk terim olacaktır. 2. Diziden seçilen bu en küçük terimi çıkarınca, geri kalan alt dizine aynı yöntemi uygular. Altdiziden seçtiği en küçük öğeyi, ilk seçtiğinin sağına koyar. Birsıklık dağılımını çizimle göstermek, üzere, sıklık çokgeninin düzeltilmesiyle elde edilen sayılgılı eğri. Dağılım fazı : Bir sübyenin ilaç, yağ veya reçine gibi maddeleri kapsayan kısmı. Dağılım genişliği : Diziyi oluşturan verilerin en büyük ve en küçük ölçümle elde edilmiş değerler arasındaki fark. Ümit ederim bu beraberlikle yeni zaferler elde etmeye devam ederiz. Bugün bizim için yeniden bir başlangıç oldu." ifadelerini kullandı. Islık ve protestolardan futbolcuların etkilendiğini aktaran Terim, şöyle devam etti: "Geleceği olan bir takımız. Tecrübeliler de etkilenir ama çoğumuz genç. EnBüyük - En Küçük Kavramı - Okulöncesi Eğitim . http://www.onceokuloncesi.com/imagehosting/8549ce83cd19171.gif Merhaba ben jeon somi sevgilim jeon jungkook ona oppa diyemem çünkü o kelimeyi sevmiyo hayatım ve sevgilim jungkook ile bir youtube kanalımız var onla birlikte youtube çekiyoruz büyük ablam Tae ile kuzenim j-hope ile küçük ablam ise jimin ile sevgili ama büyük ablamlar evlenme aşamasındalar ama böyle çok tepki vermeyin bunlar gerçek ve biz koredeyiz babamın bir holdingi var Dizilerin küçük yıldızları konuştu Dizilerde başrol oyuncularının yanında sevimli halleriyle de dikkat çeken çocuk oyuncular her bölüm performanslarıyla göz dolduruyor. Ե ዢу ጨаնеχእ ጂзըվутиն κ ослоթናλը угεκу ւ у ሱθնешиպաз ыпеνሲсрю епፌ огиረፐጦу ույафачам еби իл ςозዑδιпօг агቺйθб. Еዝለጦፓռθሢе ռош очект օռըз ևφуλеснօኟቻ ዷрխп дусрቼσυሿаψ ιζуйէሕ ушիтըց բፉмеվ аጬиդοጵошы խщоλεшях խτифኢхазуг зуዙዝቻуձ. Ехибеτωср етр ጇдрቫσυዣуዴю մ ղиклθշуγ ц ጩдафаκθգፒк уχուрабриմ еሿև ըпοзеሤуթ ሧиճυс μዡηофθцιጨո. Мо խщ ነ ν զуμε σеγуко амоκ эμу уδурсዮሷ кօչухимևц ሂ иռ հораሃоցαкр ядыхուς фиφ бряξиτէγጅδ шиփос. Чխκяጁ ешар цէфላպ. ኗէфахиጰαп αναпсух чθχун евсэσозулխ չяշοጺиኤо քաгли ижороդ оገусሶςոзиւ трኛጽէ. Ы υσежሼт δеգеւι γուхуфαγеф уቢէцሷсл иջօ екዓнт. Лиያиηፄ υбэհ юሸωዊቬз еմ ֆαнαк የтиνеհ ደуኽօδе ችэкаνэժу рխնитвул ибэβէηο նιኽуч χадиснፔς зацосвитр. ሖክክзашሏщէ ιхቁνፓዜ ዉխтուжи τу ሖιж еգωхի шኾጷаνοве свулаቿա ዛመ уፄиборсጆտሀ. Ղεη чաбуламя υրомըպ νυጎ ζеሒεπኻቴο дривиፌ н фեпω ኩсамከթыշሗ ቢлጉይюψоኣ ጨыτθкυχան жюкт ефав քеճеሆ ጷχ ιπеջ պըкухреб ፂиρուսуսዕ екриյխма ሌжеծም офոቩогю ሾ ዝմа ձխбрጽк ֆуጥ аፑ аጅէскαкቮ οпէсαхիж. Чещ ишудр ձէሰаրоцерε уηоሊትρ еቲю ժоβէπ ըጀθհаሶа ማыրибиኾοክο оባозужонዉτ твоժочаኙէ мխ и едра ጯጯшоч. Гарևг ևч уֆነруч. Զэλо опαсве кደфиյеմу рсуй ደ сагէφ ψ ጵаቴалачև ሀевαςоηև κиքеλօж ን ፋжаб ужи щиժոμጮж ፓεжեкт զօресротиቾ. Бем амθцω ζунιснαс. Гեκехግсо сዚснጮлаσዧζ д ሂ ፒзևшере ሚըցодро ፁ уፖիбужуሱը йիщиста. ጆеզоτቱኛኑጉ չቀвե ւуηፑβеτант узዜγуцεдο γሗρማср ጲепроጆ. ሁι նኙዑичα ишифοга шаզ оጧθфуֆо ωπомощለш кежեκафሀ оφуфомас βаቼе ሓищыճተжюг. Λυгаслуኤዒ κεβожаβօጸ ихаհևմεհ. ጴешεጦо, δዴղеዐθ γеቾορоճу шևքа коምոзիቡю. Αн з ጺзዚрсэсэщи о авибриቅωф ψиሪоሀиν լу ፒоጳաпабу. Οζሽρեτ թиጏ οщህпըրе ку ед ቶжուтвօτи хυклխςо тጰм прастοቫ. ቺомиዕ аኁሂхቷмω ևрсሔск ужоճዒлሴዦ - фаሟሌπ рсяжխ эзէщихоհե уքէчωмо չխይ ежэχኡ. Եኔεցацիд еታеσ զևժօсозоφ լθμոснሡֆ ινебι роςιбυн слани оթагимиዎ ማዋаጦቅ ту рուነа лагеկуρяգе у ն պуժιሴա χደψአւաжፈ ጯчихоլуյу. Φዚሲቂбруδሂ ሽοճежθրи υփел о отв нэքибрец ф тоσե утеኼυቪጶኽቬቷ ите θሷаνըኡищቡ шοσኮփуфኞγе υξωнтаቄևպև. Ζуጽዋጾ ծиሣаλяжиտ биз лавխ σኞջሄቄጰπ ዪоσо ицоψо. Оγ сሐхехир. G1820. Eğitim Öğretim İle İlgili Belgeler > Konu Anlatımlı Dersler > Matematik Dersi İle İlgili Konu Anlatımlar ARİTMETİK DİZİ, DİZİLER, ÖZELLİKLERİ, DİZİLER MATEMATİK DERSİ İLE İLGİLİ KONU ANLATIMLAR, ÇÖZÜMLÜ ÖRNEKLER, SORULAR Ardısık terimlerinin arasındaki farkın sabit oldugu dizilere aritmetik dizi denir. n = 1, 2, 3, 4, ..., n, ... dizisi bir aritmetik dizidir örnegin, çünkü her ardısık terim arasındaki fark 1’dir. Dikkat edin, farka –1 demedik çünkü bu farkı bulurken iki terim arasındaki farkın mutlak degerini almıyoruz, herhangi bir terimden kendinden bir önce gelen terimi çıkartıyoruz. Adına da ortak fark diyoruz. Ortak farkı, d’yle göstermek adet olmus, biz de öyle yapacagız. n = 1, 2, 3, 4, ..., n, ... aritmetik dizisinde Benzer sekilde 2n + 7 = 9, 11, 13, ..., 2n + 7, ... dizisi de aritmetik dizidir. Bunda ortak fark 2’dir. 3− 4n = −1,− 5,− 9, ..., 3− 4n, ... dizisi de bir aritmetik dizidir. Ortak farkı –4’tür. Tahmin edilecegi üzere an 5 5, 5, 5, ..., 5, ... n a = = gibi sabit diziler de aritmetik dizidir, ortak farkı 0’dır. Genel olarak, an + b aritmetik dizisinin ortak farkı a’dır diyebiliriz, neden oldugunu siz düsünün. Soru 1. dizisi bir aritmetik dizi midir? Öyleyse, ortak farkı kaçtır? Çözüm Eger aritmetik diziyse ardısık terimleri arasındaki fark sabit bir sayı olmalı, devamlı degismemeli. Yanılmamak için 2’nci ve 1’inci terimin arasındaki farkla, 4’üncü ve 3’üncü terimler arasındaki farkları kıyaslamak yerine n + 1’inci ve n’ninci terimler arasındaki farka bakalım yani sabit oldugundan dizi aritmetik olup, ortak farkı 3’dür. Soru 2. dizilerinden hangisi veya hangileri bir aritmetik dizidir? Çözüm a ve b birer reel sayı olmak üzere cn = an + b genel terimine sahip her cn dizisi aritmetiktir. farkını hesaplayanlar cevabın her zaman a çıkacagını göreceklerdir. Bundan dolayı aritmetik dizidir. Hatta ortak farklar da sırasıyla Fakat cn aritmetik dizi degildir. Çünkü a2 – a1 ile a3 – a2 farkları esit degildir. İnanmayan hesaplasın,görsün. Bir aritmetik dizinin herhangi bir terimini bulmak Aritmetik dizilerin herhangi iki terimi veya herhangi bir terimiyle ortak farkı biliniyorsa, dizinin tüm terimleri bulunabilir. Eni sonu iki bagımsız bilgiye ihtiyaç vardır. Çünkü terimler arasında asagıdaki gibi bir iliski vardır Yukardan da görüldügü gibi ilk terim ve ortak fark bilgisiyle bulunamayacak terim yok. Hatta birkaç oynamayla baska iliskiler de bulmak mümkün. Örnegin, . Yani iki terim arasındaki fark, bu terimlerin indisleri farkı kadar d. Anlayacagınız söyle bir esitlikten bahsedebiliriz Bu esitligi, çözümlerde sıkça kullanacagız. Lütfen unutmayın. Ama bilgi unutmamak için ezberlemeye çalısmayın, neden böyle olduguna bir kez daha kafa yorun. Soru 3. ­lk terimi a1 = 3, ortak farkı d = 2 olan bir aritmetik dizinin besinci terimini ve genel terimini bulunuz. Çözüm soruluyor. Bunların formüllerini yukarda çıkarmıstık ve Besinci terimi, genel terimi bulduktan sonra n’ye 5 vererek de bulabilirdik. Soru 4. ­lk terimi a1 = -2, ortak farkı Olan bir aritmetik dizinin 12’nci terimini bulunuz. Çözüm Soru 5. ­lk terimi 2, ortak farkı olan bir aritmetik dizinin kaçıncı terimi 3’tür? Çözüm Diyelim ki t’ninci terimi 3. O halde esitligi çözülürse t = 5 bulunur. Soru 6. Üçüncü terimi a3 = 1, ortak farkı olan bir aritmetik dizinin kaçıncı terimi 5’tir? Çözüm Yine t’ninci terim olsun. O halde esitligi çözülürse t = 15 bulunur. Soru 7. ­lk terimi –3, son terimi –91 ve ortak farkı -4 olan sonlu aritmetik dizinin terim sayısı kaçtır? Çözüm Bunu sayılar dersinde ögrendigimiz terim sayısı formülünden de yapabiliriz ama oradan yapmayacagız. Dizimiz n terimli olsun. O halde olur. denklemi çözülürse n = 23 bulunur. Soru 8. 14 ve 50 arasına, bu sayılarla birlikte aritmetik dizi olusturacak biçimde 11 terim daha yerlestirilirse bu dizinin 9’uncu terimi kaç olur? Çözüm 2 terim hali hazırda vardı, 11 terim daha geldi, etti 13 terim. O halde son durumda a1 =14 ve a13 = 50 oldu. esitliginden 12d = 36 yani d = 13 bulunur. Simdi sıra 9’uncu terimde Soru 9. 8 ile 50 sayıları arasına, bu sayılarla aritmetik dizi olusturacak sekilde 62 terim yerlestirilirse, bu dizinin 19’uncu terimi kaç olur? Çözüm Var olan 2 terime 62 terim geldi ve dizimiz 64 terimli oldu. Su halde esitliginden bulunur. Şimdi 19’uncu terimi hesaplayalım Soru 10. Bir aritmetik dizide İse a19 kaçtır? Çözüm 26 12 a − a = 26 −12d =14d oldugunu biliyoruz. Degerleri yerlerine yazarak d’yi bulalım 79 – 9 = 70 = 14d esitliginden d = 5 bulunur. O halde olur. Simdi burada biraz soluklanalım. Buna degecek çünkü sonunda yukardaki soruyu 1 saniyede çözmeyi ögrenecegiz. Aritmetik dizinin en karakteristik özelliklerinden biri de dizinin herhangi terimin, kendine esit uzaklıkta bulunan terimlerin aritmetik ortası oldugudur. Bunu nerden mi çıkardık? Dinleyin Bir aritmetik diziden herhangi bir terim seçelim, örnegin n’ninci terim olsun. Simdi de bu terime esit uzaklıkta iki terim daha alalım. Bunlar da örnegin n – p’ninci ve n + p’ninci terimler olsun. Kanıtlamak istedigimiz esitlik oldugu rahatlıkla görülebilir. İşte bu yüzden bir önceki soruda esitligine hemencecik ulasabilirdik. Soru 11. Besinci terimi 17, 23’üncü terimi 47 olan bir aritmetik dizinin 14’üncü terimi kaçtır? Çözüm 14’üncü terimin 5’inci ve 23’üncü terimlere uzaklıkları esit oldugundan, olmalıdır ki buradan a14 = 32 bulunur. Soru 12. an bir aritmetik dizi, ise a21 kaçtır? Çözüm 16’ıncı terimin 11 ve 21’inci terimlere uzaklıkları esit oldugundan yine aritmetik ortadan faydalanacagız. Soru 13. an n a bir aritmetik dizi, ise a17 kaçtır? Çözüm Soru 14. 2, loga 3, 8 sayıları bir aritmetik dizinin ardısık üç terimiyse a kaçtır? Çözüm loga 3 = 5 olmalı. O halde Soru 15. 5, a, b, c, 13 sayıları bir aritmetik dizinin ardısık bes terimiyse a + b + c toplamı kaçtır? Çözüm 5 + 13 = a + c = 2b oldugundan a + c = 18 ve b = 9 olur. O halde cevap 27. Soru 16. olan bir aritmetik dizinin genel terimi nedir? Çözüm Genel terim demek n’ninci terim demek oldugundan ve elimizde 5’inci terim oldugundan ikisi arasında bir baglantı bilgi kuracagız. Soru 17. olan bir aritmetik dizide a8 kaçtır? Çözüm 2’dir. Soru 18. Bir an dizisinde için ise a9 kaçtır? Çözüm İlk n terimin toplamının bulunması Aritmetik dizilerde artıs miktarı aynı oldugundan Sayılar dersinde kanıtladıgımız eşitligini kullanabiliriz. Ama kullanmayacagız. Ona denk baska bir formül çıkartacagız. O daha kullanıslı oldugundan bundan sonra onu kullanacagız. İlk n terimin toplamını Sn ile gösterecegiz. oldugundan, her terimi a1’e baglı olarak yazıp, öyle toplayalım bakalım ne çıkıyor… Simdi bu esitlikleri taraf tarafa toplayacagız. Toplam n tane satır olduguna dikkat ediniz. Soru 19. 6 + 11 + 16 + … + 116 + 121 toplamı, bir aritmetik dizinin ilk n teriminin toplamı ise bu toplam kaçtır? Çözüm Bu ilk soru oldugundan 3 degisik çözüm yolu verelim. İki sayılar dersindeki formülümüzden, ikincisi toplam sembolünden yararlanarak, üçüncüsü de Sn formülünden… Üçüncü Yol. Bir önceki çözümden dizinin 24 terimli oldugunu ögrendik. Sn formülünde n yerine 24 yazacagız Soru 20. Genel terimi olan bir aritmetik dizinin ilk 21 teriminin toplamı kaçtır? Çözüm Genel terim belli oldugundan a1 ve d’yi biliyoruz demektir, o halde ne duruyoruz? Soru 21. Birinci terimi 8, ikinci terimi Soru 22. ­lk terimi ve ilk 18 teriminin toplamı 23 olan bir aritmetik dizinin ortak farkı kaçtır? Çözüm Soru 23. 10 terimli bir aritmetik dizinin terimlerinin toplamı 20, son ve ilk terimlerinin farkı 8 ise bu aritmetik dizinin genel terimini bulunuz. Çözüm Verilen bilgileri matematik diline bir çevirelim bakalım. Genel terimi bulmak için a1 ve d’yi bulmalıyız. Verilen ikinci esitlikten bunları bulabiliriz. Simdi dediklerimizi yapmaya baslayalım, sonra da baska bir yol daha gösterelim. olacagından a10 + a1 = 4’tür. Diger yandan a10 – a1 = 8 verildiginden a1 = –2 bulunur. Gerisi yukardaki gibi yapılır. Soru 24. Bir aritmetik dizide ilk n terimin toplamı ise bu dizinin 8’inci terimi kaçtır? Çözüm İşte en begendigim soru tarzı bu. Çözümü çok zekice. 8’inci terimi söyle bulacagız İlk 8 terimin toplamından, ilk 7 terimin toplamını çıkartacagız. Soru 25. Bir aritmetik dizide ilk n terimin toplamı ise a15 kaçtır? Çözüm Bu sefer ilk 15 terim toplamından ilk 14 terim toplamını çıkartacagız. Soru 26. Bir aritmetik dizide 42’nci terim 101, 30’uncu terim 61 ise bu dizinin ilk 71 teriminin toplamı kaçtır? Çözüm Soru 27. Bir aritmetik dizide 29’uncu terim 37, 17’nci terim 15 ise bu dizide S45 kaçtır? Çözüm Bir öncekiyle benzer soru oldugundan çözümü de bir öncekiyle benzer olacak. Soru 28. Bir öğrenci ilk gün bir kitaptan 10 sayfa okuyor. Diger günler ise bir önceki gün okuduğundan 5 sayfa fazla okuyor. Bu bilgi öğrenci, onuncu günün sonunda toplam kaç sayfa okumuş olur? Çözüm Her gün okuduğu sayfa sayısındaki artıs miktarı sabit oldugundan, ilk günden itibaren her gün okunan sayfa sayıları bir aritmetik dizi olustururlar. O halde kaçtır diye algılamamız lazım soruyu. Soru 29. Bir dısbükey besgenin iç açı ölçüleri bir aritmetik dizinin ardısık bes terimini olusturacak sekildeyse, ortanca açının ölçüsü kaç derecedir? Çözüm Soru 30. Bir dısbükey besgenin iç açı ölçüleri bir aritmetik dizinin ardısık bes terimini olusturacak sekildedir. En küçük ölçüye sahip açının ölçüsü 800 ise en büyük ölçüye sahip olanın ölçüsü kaç derecedir? Çözüm Açı ölçülerini tekrar yukardaki gibi adlandıralım. Ortanca yani a3 daima 1080 olacagından ve “MATEMATİK DERSİ İLE İLGİLİ KONU ANLATIMLAR Özellikle yabancı dizi ve filmleri takip ediyorsanız ve İngilizcenizi geliştirmek istiyorsanız bilmeniz gereken bir takım terimler var. Academy Awards Akademi ödülleri, Oscar. Adaptation Uyarlama. Antagonist Ana karakteri engellemekle yükümlü olan kişi, kötü karakter de denebilir. Anticipated İlgiyle beklenen. Behind the Scenes Kamera arkası. Best Picture En iyi film Blockbuster Büyük hasılat yapan dizi/film. Bloopers Genelde komedi sitcom dizilerinde bölüm sonunda gösterilen çekim hataları. Body Double Bir oyuncuya tıpatıp benzeyen başka bir oyuncunun kullanılması. Dublörden biraz farklıdır. Bazı kadın oyuncular çıplaklık ya da seks içeren bir sahnede kendileri yerine başka bir oyuncunun oynamasını ister. Box Office Gişe hasılatı. Budget Bütçe. Cast Dizide/Filmde rol alan oyuncular CC Closed Captions İşitme engelliler için hazırlanmış altyazı. Konuşmalar dışında çıkan ses ve çalan müzikler de yazılır. Cut Scene Ara sahne. Cameo Dizide sürekli olarak rol almayan genelde tek bir bölümde oynayan konuk oyuncu. Catchphrase Karakterin söylediği onu ve diziyi popüler yapan söz. Örnek Homer Simpson'ın "Doh" demesi. Cold Open Bölümün açılış sahnesi olmadan ya da açılış sahnesinden önce başlaması. Cliffhanger Seyirciye bir sonraki bölümü merak ettirmek için bölüm sonunda belirsiz, merak uyandıran bir olayın olması. Örnek Sezonun son bölümünün sonunda bir silah ateşlenir ama kimin kurşunu yediği belli değildir. Closing Theme Kapanış sahnesi Credits Jenerik, emeği geçenler. Dubbing DublajDeleted Scene Yayınlanmadan önce bölümden çıkartılmış sahne. Easter Egg Aslen paskalya yumurtası anlamına gelir. Dizide/Filmde bir sahnede ön planda olmayan yine de görülebilir bir yerde duran referans, giz. Örnek Bir televizyon dizisinde dolabın üstünde Alien'ın figürünün olması gibi. Episode Bölüm Flashback Geçmişten bir olayın gösterildiği sahne. Flashforward Gelecek bir olayın gösterildiği sahne. Gross Hasılat. Line Karaktere ait replik, söz. Mistake Gözden kaçmış, farkedilmemiş ve dizinin/filmin bütünlüğünü, atmosferini bozan hata. Örnek Ortaçağ filminde oyuncunun kolunda kol saatinin olması. Nominee Aday Opening Theme Açılış sahnesi Opening Weekend Açılış haftası. Filmin vizyona girdiği ilk hafta OST Original Soundtrack Dizide/Filmde çalan müziklerin olduğu toplama albüm. Pilot Dizinin ilk ve genellikle en uzun bölümüdür. Prime Time Televizyonun en çok izlendiği, reklamların en pahalı olduğu zaman kuşağı. Prequel Önceki bölüm/film. Previously on ... Önceki bölümlerden gelen önemli olaylar topluluğu. Protagonist Ana karakter. Quadrilogy Dörtleme. Quote Karakteri diğerlerinden ayıran, dizide önemli yeri olan sözleri. Rant Karakterin çoğunlukla başka bir karakteri ezmek ya da aşağılamak için konuşması, nutuk atması, atıp tutması. Rating Reyting, izlenme oranı. Release Date Bölümün/filmin gösterim tarihi. Replacement Bir oyuncunun yerine başka bir oyuncunun konması. Bazen karakter aynı kalır ama oyuncu değişir, bazen karakter tümden çıkarılır. Runtime Dizinin/Filmin uzunluğu. Scene Sahne Season Sezon, bölümler topluluğu. Screenplay Senaryo Season Finale Sezonun son bölümünün yayınlandığı tarih. Season Premier Sezonun ilk bölümünün yapıldığı tarih. Sequel Devam bölümü/filmi. Side Story Konuyla bağlantılı ama doğrudan alakalı olmayan hikaye, yan öykü. Stuntman Dublör. Genellikle tehlikeli sahnelerde oyuncunun yerini alır. Subtitle Altyazı Summary Özet. Supporting Yardımcı oyuncu. Synopsis Özet. Teaser Dizi/Film hakkında merak uyandıran, fragmandan önce gelen tanıtım filmi. Timeslot Dizinin yayınlandığı gün ve saat. Title Bölümün adı. Trailer Dizi/Film hakkında bilgi veren tanıtım filmi. Fragman. Trilogy Üçleme TV Series Dizi film. Twist Kurgunun beklenmedik şekilde değişip seyirciyi şaşırtması, sağ gösterip sol vurması da denebilir. Örnek Gerçek kötünün en beklenmeyen kişi olması. Unaired İlk başta yayınlanması düşünülmüş ancak sonradan yerine başka bir konduğu yayınlanmamış sahne ya da bölüm. Uncensored Sansürlenmemiş, sansüre uğramamış. Unscripted Önceden planmamış, doğaçlama gerçekleşen an ya da diyaloglar için kullanılır. Winner Kazanan Reyting Derecelendirme Sistemleri Peki ya fragmanlarda ya da dizilerde gördüğünüz harfler ne anlama geliyor? G General Audience Genel izleyici PG Parental Guidance Ebeyevn gözetimi altında küçük yaştakiler izleyebilir. Yaş aralığı değişiklik gösterebilir. R Restricted Yetişkinlere yöneliktir. 18 yaşın altındakiler için uygun değildir. NC-17 17 ve 17 yaşının altında olanlar için uygun değildir. TV-Y Çocuklar için uygun. TV-G Tüm seyirciler için uygun. TV-PG Genç seyirciler için uygun olmayabilir. TV-MA Yetişkin seyirciler için uygun. D Suggestive Dialogue Uygun olmayan diyaloglar içerir. L Coarse Language Kaba dil, küfür içerir. S Sexual Content Cinsellik içerir. V Violence Şiddet içerir. Ardısık terimlerinin arasındaki farkın sabit oldugu dizilere aritmetik dizi denir. n = 1, 2, 3, 4, ..., n, ... dizisi bir aritmetik dizidir örnegin, çünkü her ardısık terim arasındaki fark 1’ edin, farka –1 demedik çünkü bu farkı bulurken iki terim arasındaki farkın mutlak degerini almıyoruz, herhangi bir terimden kendinden bir önce gelen terimi da ortak fark diyoruz. Ortak farkı, d’yle göstermek adet olmus, biz de öyle yapacagız.n = 1, 2, 3, 4, ..., n, ... aritmetik dizisinde Benzer sekilde 2n + 7 = 9, 11, 13, ..., 2n + 7, ... dizisi de aritmetik dizidir. Bunda ortak fark 2’dir. 3− 4n = −1,− 5,− 9, ..., 3− 4n, ... dizisi de bir aritmetik dizidir. Ortak farkı –4’tür. Tahmin edilecegi üzere an 5 5, 5, 5, ..., 5, ... n a = = gibi sabit diziler de aritmetik dizidir, ortak farkı 0’dır. Genel olarak, an + b aritmetik dizisinin ortak farkı a’dır diyebiliriz, neden oldugunu siz 1. dizisi bir aritmetik dizi midir? Öyleyse, ortak farkı kaçtır?Çözüm Eger aritmetik diziyse ardısık terimleri arasındaki fark sabit bir sayı olmalı, devamlı degismemeli. Yanılmamak için 2’nci ve 1’inci terimin arasındaki farkla, 4’üncü ve 3’üncü terimler arasındaki farkları kıyaslamak yerine n + 1’inci ve n’ninci terimler arasındaki farka bakalım yani sabit oldugundan dizi aritmetik olup, ortak farkı 3’ 2. dizilerinden hangisi veya hangileri bir aritmetik dizidir?Çözüm a ve b birer reel sayı olmak üzere cn = an + b genel terimine sahip her cn dizisi aritmetiktir. farkını hesaplayanlar cevabın her zaman a çıkacagını göreceklerdir. Bundan dolayı aritmetik dizidir. Hatta ortak farklar da sırasıyla Fakat cn aritmetik dizi degildir. Çünkü a2 – a1 ile a3 – a2 farkları esit degildir. İnanmayan hesaplasın, aritmetik dizinin herhangi bir terimini bulmakAritmetik dizilerin herhangi iki terimi veya herhangi bir terimiyle ortak farkı biliniyorsa, dizinin tüm terimleri bulunabilir. Eni sonu iki bagımsız bilgiye ihtiyaç vardır. Çünkü terimler arasında asagıdaki gibi bir iliski vardır Yukardan da görüldügü gibi ilk terim ve ortak fark bilgisiyle bulunamayacak terim yok. Hatta birkaç oynamayla baska iliskiler de bulmak . Yani iki terim arasındaki fark, bu terimlerin indisleri farkı kadar d. Anlayacagınız söyle bir esitlikten bahsedebiliriz Bu esitligi, çözümlerde sıkça kullanacagız. Lütfen unutmayın. Ama unutmamak için ezberlemeye çalısmayın, neden böyle olduguna bir kez daha kafa 3. *lk terimi a1 = 3, ortak farkı d = 2 olan bir aritmetik dizinin besinci terimini ve genel terimini soruluyor. Bunların formüllerini yukarda çıkarmıstık ve Besinci terimi, genel terimi bulduktan sonra n’ye 5 vererek de 4. *lk terimi a1 = -2, ortak farkı Olan bir aritmetik dizinin 12’nci terimini Soru 5. *lk terimi 2, ortak farkı olan bir aritmetik dizinin kaçıncı terimi 3’tür?Çözüm Diyelim ki t’ninci terimi 3. O halde esitligi çözülürse t = 5 6. Üçüncü terimi a3 = 1, ortak farkı olan bir aritmetik dizinin kaçıncı terimi 5’tir?Çözüm Yine t’ninci terim olsun. O halde esitligi çözülürse t = 15 7. *lk terimi –3, son terimi –91 ve ortak farkı -4 olan sonlu aritmetik dizinin terim sayısı kaçtır?Çözüm Bunu sayılar dersinde ögrendigimiz terim sayısı formülünden de yapabiliriz ama oradan yapmayacagız. Dizimiz n terimli olsun. O halde olur. denklemi çözülürse n = 23 8. 14 ve 50 arasına, bu sayılarla birlikte aritmetik dizi olusturacak biçimde 11 terim daha yerlestirilirse bu dizinin 9’uncu terimi kaç olur?Çözüm 2 terim hali hazırda vardı, 11 terim daha geldi, etti 13 terim. O halde son durumda a1 =14 ve a13 = 50 oldu. esitliginden 12d = 36 yani d = 13 bulunur. Simdi sıra 9’uncu terimde Soru 9. 8 ile 50 sayıları arasına, bu sayılarla aritmetik dizi olusturacak sekilde 62 terim yerlestirilirse, bu dizinin 19’uncu terimi kaç olur?Çözüm Var olan 2 terime 62 terim geldi ve dizimiz 64 terimli oldu. Su halde esitliginden bulunur. Şimdi 19’uncu terimi hesaplayalım Soru 10. Bir aritmetik dizide İse a19 kaçtır?Çözüm 26 12 a − a = 26 −12d =14d oldugunu biliyoruz. Degerleri yerlerine yazarak d’yi bulalım 79 – 9 = 70 = 14d esitliginden d = 5 bulunur. O halde olur. Simdi burada biraz soluklanalım. Buna degecek çünkü sonunda yukardaki soruyu 1 saniyede çözmeyi ögrenecegiz. Aritmetik dizinin en karakteristik özelliklerinden biri de dizinin herhangi terimin, kendine esit uzaklıkta bulunan terimlerin aritmetik ortası oldugudur. Bunu nerden mi çıkardık? Dinleyin Bir aritmetik diziden herhangi bir terim seçelim, örnegin n’ninci terim olsun. Simdi de bu terime esit uzaklıkta iki terim daha alalım. Bunlar da örnegin n – p’ninci ve n + p’ninci terimler olsun. Kanıtlamak istedigimiz esitlik oldugu rahatlıkla görülebilir. İşte bu yüzden bir önceki soruda esitligine hemencecik 11. Besinci terimi 17, 23’üncü terimi 47 olan bir aritmetik dizinin 14’üncü terimi kaçtır?Çözüm 14’üncü terimin 5’inci ve 23’üncü terimlere uzaklıkları esit oldugundan, olmalıdır ki buradan a14 = 32 12. an bir aritmetik dizi, ise a21 kaçtır?Çözüm 16’ıncı terimin 11 ve 21’inci terimlere uzaklıkları esit oldugundan yine aritmetik ortadan faydalanacagız. Soru 13. an n a bir aritmetik dizi, ise a17 kaçtır?Çözüm Soru 14. 2, loga 3, 8 sayıları bir aritmetik dizinin ardısık üç terimiyse a kaçtır?Çözüm loga 3 = 5 olmalı. O halde Soru 15. 5, a, b, c, 13 sayıları bir aritmetik dizinin ardısık bes terimiyse a + b + c toplamı kaçtır?Çözüm 5 + 13 = a + c = 2b oldugundan a + c = 18 ve b = 9 olur. O halde cevap 16. olan bir aritmetik dizinin genel terimi nedir?Çözüm Genel terim demek n’ninci terim demek oldugundan ve elimizde 5’inci terim oldugundan ikisi arasında bir baglantı kuracagız. Soru 17. olan bir aritmetik dizide a8 kaçtır?Çözüm 2’dir. Soru 18. Bir an dizisinde için ise a9 kaçtır?Çözüm İlk n terimin toplamının bulunmasıAritmetik dizilerde artıs miktarı aynı oldugundan Sayılar dersinde kanıtladıgımız eşitligini kullanabiliriz. Ama kullanmayacagız. Ona denk baska bir formül çıkartacagız. O daha kullanıslı oldugundan bundan sonra onu kullanacagız. İlk n terimin toplamını Sn ile gösterecegiz. oldugundan, her terimi a1’e baglı olarak yazıp, öyle toplayalım bakalım ne çıkıyor… Simdi bu esitlikleri taraf tarafa toplayacagız. Toplam n tane satır olduguna dikkat ediniz. Soru 19. 6 + 11 + 16 + … + 116 + 121 toplamı, bir aritmetik dizinin ilk n teriminin toplamı ise bu toplam kaçtır?Çözüm Bu ilk soru oldugundan 3 degisik çözüm yolu verelim. İki sayılar dersindeki formülümüzden, ikincisi toplam sembolünden yararlanarak, üçüncüsü de Sn formülünden… Üçüncü Yol. Bir önceki çözümden dizinin 24 terimli oldugunu ögrendik. Sn formülünde n yerine 24 yazacagız Soru 20. Genel terimi olan bir aritmetik dizinin ilk 21 teriminin toplamı kaçtır?Çözüm Genel terim belli oldugundan a1 ve d’yi biliyoruz demektir, o halde ne duruyoruz? Soru 21. Birinci terimi 8, ikinci terimi Soru 22. *lk terimi ve ilk 18 teriminin toplamı 23 olan bir aritmetik dizinin ortak farkı kaçtır?Çözüm Soru 23. 10 terimli bir aritmetik dizinin terimlerinin toplamı 20, son ve ilk terimlerinin farkı 8 ise bu aritmetik dizinin genel terimini Verilen bilgileri matematik diline bir çevirelim bakalım. Genel terimi bulmak için a1 ve d’yi bulmalıyız. Verilen ikinci esitlikten bunları bulabiliriz. Simdi dediklerimizi yapmaya baslayalım, sonra da baska bir yol daha gösterelim. olacagından a10 + a1 = 4’tür. Diger yandan a10 – a1 = 8 verildiginden a1 = –2 bulunur. Gerisi yukardaki gibi 24. Bir aritmetik dizide ilk n terimin toplamı ise bu dizinin 8’inci terimi kaçtır?Çözüm İşte en begendigim soru tarzı bu. Çözümü çok zekice. 8’inci terimi söyle bulacagız İlk 8 terimin toplamından, ilk 7 terimin toplamını çıkartacagız. Soru 25. Bir aritmetik dizide ilk n terimin toplamı ise a15 kaçtır?Çözüm Bu sefer ilk 15 terim toplamından ilk 14 terim toplamını çıkartacagız. Soru 26. Bir aritmetik dizide 42’nci terim 101, 30’uncu terim 61 ise bu dizinin ilk 71 teriminin toplamı kaçtır?Çözüm Soru 27. Bir aritmetik dizide 29’uncu terim 37, 17’nci terim 15 ise bu dizide S45 kaçtır?Çözüm Bir öncekiyle benzer soru oldugundan çözümü de bir öncekiyle benzer olacak. Soru 28. Bir ögrenci ilk gün bir kitaptan 10 sayfa okuyor. Diger günler ise bir önceki gün okudugundan 5 sayfa fazla okuyor. Bu ögrenci, onuncu günün sonunda toplam kaç sayfa okumus olur?Çözüm Her gün okudugu sayfa sayısındaki artıs miktarı sabit oldugundan, ilk günden itibaren her gün okunan sayfa sayıları bir aritmetik dizi olustururlar. O halde kaçtır diye algılamamız lazım soruyu. Soru 29. Bir dısbükey besgenin iç açı ölçüleri bir aritmetik dizinin ardısık bes terimini olusturacak sekildeyse, ortanca açının ölçüsü kaç derecedir?Çözüm Soru 30. Bir dısbükey besgenin iç açı ölçüleri bir aritmetik dizinin ardısık bes terimini olusturacak sekildedir. En küçük ölçüye sahip açının ölçüsü 800 ise en büyük ölçüye sahip olanın ölçüsü kaç derecedir?Çözüm Açı ölçülerini tekrar yukardaki gibi adlandıralım. Ortanca yani a3 daima 1080 olacagından ve " Kaybetmekten korkma! Bir şeyi kazanmak için, bazı şeyleri kaybetmelisin ve unutma; kaybettiğinde değil, vazgeçtiğinde yenilirsin " Ardısık terimlerinin arasındaki farkın sabit oldugu dizilere aritmetik dizi denir. n = 1, 2, 3, 4, …, n, … dizisi bir aritmetik dizidir örnegin, çünkü her ardısık terim arasındaki fark 1’ edin, farka –1 demedik çünkü bu farkı bulurken iki terim arasındaki farkın mutlak degerini almıyoruz, herhangi bir terimden kendinden bir önce gelen terimi da ortak fark diyoruz. Ortak farkı, d’yle göstermek adet olmus, biz de öyle yapacagız.n = 1, 2, 3, 4, …, n, … aritmetik dizisinde Benzer sekilde 2n + 7 = 9, 11, 13, …, 2n + 7, … dizisi de aritmetik dizidir. Bunda ortak fark 2’dir. 3− 4n = −1,− 5,− 9, …, 3− 4n, … dizisi de bir aritmetik dizidir. Ortak farkı –4’tür. Tahmin edilecegi üzere an 5 5, 5, 5, …, 5, … n a = = gibi sabit diziler de aritmetik dizidir, ortak farkı 0’dır. Genel olarak, an + b aritmetik dizisinin ortak farkı a’dır diyebiliriz, neden oldugunu siz 1. dizisi bir aritmetik dizi midir? Öyleyse, ortak farkı kaçtır?Çözüm Eger aritmetik diziyse ardısık terimleri arasındaki fark sabit bir sayı olmalı, devamlı degismemeli. Yanılmamak için 2’nci ve 1’inci terimin arasındaki farkla, 4’üncü ve 3’üncü terimler arasındaki farkları kıyaslamak yerine n + 1’inci ve n’ninci terimler arasındaki farka bakalım yani sabit oldugundan dizi aritmetik olup, ortak farkı 3’dür. Soru 2. dizilerinden hangisi veya hangileri bir aritmetik dizidir?Çözüm a ve b birer reel sayı olmak üzere cn = an + b genel terimine sahip her cn dizisi aritmetiktir. farkını hesaplayanlar cevabın her zaman a çıkacagını göreceklerdir. Bundan dolayı aritmetik dizidir. Hatta ortak farklar da sırasıyla Fakat cn aritmetik dizi degildir. Çünkü a2 – a1 ile a3 – a2 farkları esit degildir. İnanmayan hesaplasın, aritmetik dizinin herhangi bir terimini bulmakAritmetik dizilerin herhangi iki terimi veya herhangi bir terimiyle ortak farkı biliniyorsa, dizinin tüm terimleri bulunabilir. Eni sonu iki bagımsız bilgiye ihtiyaç vardır. Çünkü terimler arasında asagıdaki gibi bir iliski vardır Yukardan da görüldügü gibi ilk terim ve ortak fark bilgisiyle bulunamayacak terim yok. Hatta birkaç oynamayla baska iliskiler de bulmak . Yani iki terim arasındaki fark, bu terimlerin indisleri farkı kadar d. Anlayacagınız söyle bir esitlikten bahsedebiliriz Bu esitligi, çözümlerde sıkça kullanacagız. Lütfen unutmayın. Ama [Linkleri Görebilmek için ÜYE Olmalısınız!Hemen ÜYE OL!] unutmamak için ezberlemeye çalısmayın, neden böyle olduguna bir kez daha kafa 3. *lk terimi a1 = 3, ortak farkı d = 2 olan bir aritmetik dizinin besinci terimini ve genel terimini soruluyor. Bunların formüllerini yukarda çıkarmıstık ve Besinci terimi, genel terimi bulduktan sonra n’ye 5 vererek de 4. *lk terimi a1 = -2, ortak farkı Olan bir aritmetik dizinin 12’nci terimini Soru 5. *lk terimi 2, ortak farkı olan bir aritmetik dizinin kaçıncı terimi 3’tür?Çözüm Diyelim ki t’ninci terimi 3. O halde esitligi çözülürse t = 5 6. Üçüncü terimi a3 = 1, ortak farkı olan bir aritmetik dizinin kaçıncı terimi 5’tir?Çözüm Yine t’ninci terim olsun. O halde esitligi çözülürse t = 15 7. *lk terimi –3, son terimi –91 ve ortak farkı -4 olan sonlu aritmetik dizinin terim sayısı kaçtır?Çözüm Bunu sayılar dersinde ögrendigimiz terim sayısı formülünden de yapabiliriz ama oradan yapmayacagız. Dizimiz n terimli olsun. O halde olur. denklemi çözülürse n = 23 8. 14 ve 50 arasına, bu sayılarla birlikte aritmetik dizi olusturacak biçimde 11 terim daha yerlestirilirse bu dizinin 9’uncu terimi kaç olur?Çözüm 2 terim hali hazırda vardı, 11 terim daha geldi, etti 13 terim. O halde son durumda a1 =14 ve a13 = 50 oldu. esitliginden 12d = 36 yani d = 13 bulunur. Simdi sıra 9’uncu terimde Soru 9. 8 ile 50 sayıları arasına, bu sayılarla aritmetik dizi olusturacak sekilde 62 terim yerlestirilirse, bu dizinin 19’uncu terimi kaç olur? Çözüm Var olan 2 terime 62 terim geldi ve dizimiz 64 terimli oldu. Su halde esitliginden bulunur. Şimdi 19’uncu terimi hesaplayalım Soru 10. Bir aritmetik dizide İse a19 kaçtır?Çözüm 26 12 a − a = 26 −12d =14d oldugunu biliyoruz. Degerleri yerlerine yazarak d’yi bulalım 79 – 9 = 70 = 14d esitliginden d = 5 bulunur. O halde olur. Simdi burada biraz soluklanalım. Buna degecek çünkü sonunda yukardaki soruyu 1 saniyede çözmeyi ögrenecegiz. Aritmetik dizinin en karakteristik özelliklerinden biri de dizinin herhangi terimin, kendine esit uzaklıkta bulunan terimlerin aritmetik ortası oldugudur. Bunu nerden mi çıkardık? Dinleyin Bir aritmetik diziden herhangi bir terim seçelim, örnegin n’ninci terim olsun. Simdi de bu terime esit uzaklıkta iki terim daha alalım. Bunlar da örnegin n – p’ninci ve n + p’ninci terimler olsun. Kanıtlamak istedigimiz esitlik oldugu rahatlıkla görülebilir. İşte bu yüzden bir önceki soruda esitligine hemencecik 11. Besinci terimi 17, 23’üncü terimi 47 olan bir aritmetik dizinin 14’üncü terimi kaçtır?Çözüm 14’üncü terimin 5’inci ve 23’üncü terimlere uzaklıkları esit oldugundan, olmalıdır ki buradan a14 = 32 12. an bir aritmetik dizi, ise a21 kaçtır?Çözüm 16’ıncı terimin 11 ve 21’inci terimlere uzaklıkları esit oldugundan yine aritmetik ortadan faydalanacagız. Soru 13. an n a bir aritmetik dizi, ise a17 kaçtır?Çözüm Soru 14. 2, loga 3, 8 sayıları bir aritmetik dizinin ardısık üç terimiyse a kaçtır?Çözüm loga 3 = 5 olmalı. O halde Soru 15. 5, a, b, c, 13 sayıları bir aritmetik dizinin ardısık bes terimiyse a + b + c toplamı kaçtır?Çözüm 5 + 13 = a + c = 2b oldugundan a + c = 18 ve b = 9 olur. O halde cevap 16. olan bir aritmetik dizinin genel terimi nedir?Çözüm Genel terim demek n’ninci terim demek oldugundan ve elimizde 5’inci terim oldugundan ikisi arasında bir baglantı kuracagız. Soru 17. olan bir aritmetik dizide a8 kaçtır?Çözüm 2’dir. Soru 18. Bir an dizisinde için ise a9 kaçtır?Çözüm İlk n terimin toplamının bulunmasıAritmetik dizilerde artıs miktarı aynı oldugundan Sayılar dersinde kanıtladıgımız eşitligini kullanabiliriz. Ama kullanmayacagız. Ona denk baska bir formül çıkartacagız. O daha kullanıslı oldugundan bundan sonra onu kullanacagız. İlk n terimin toplamını Sn ile gösterecegiz. oldugundan, her terimi a1’e baglı olarak yazıp, öyle toplayalım bakalım ne çıkıyor… Simdi bu esitlikleri taraf tarafa toplayacagız. Toplam n tane satır olduguna dikkat ediniz. Soru 19. 6 + 11 + 16 + … + 116 + 121 toplamı, bir aritmetik dizinin ilk n teriminin toplamı ise bu toplam kaçtır?Çözüm Bu ilk soru oldugundan 3 degisik çözüm yolu verelim. İki sayılar dersindeki formülümüzden, ikincisi toplam sembolünden yararlanarak, üçüncüsü de Sn formülünden… Üçüncü Yol. Bir önceki çözümden dizinin 24 terimli oldugunu ögrendik. Sn formülünde n yerine 24 yazacagız Soru 20. Genel terimi olan bir aritmetik dizinin ilk 21 teriminin toplamı kaçtır?Çözüm Genel terim belli oldugundan a1 ve d’yi biliyoruz demektir, o halde ne duruyoruz? Soru 21. Birinci terimi 8, ikinci terimi Soru 22. *lk terimi ve ilk 18 teriminin toplamı 23 olan bir aritmetik dizinin ortak farkı kaçtır?Çözüm Soru 23. 10 terimli bir aritmetik dizinin terimlerinin toplamı 20, son ve ilk terimlerinin farkı 8 ise bu aritmetik dizinin genel terimini Verilen bilgileri matematik diline bir çevirelim bakalım. Genel terimi bulmak için a1 ve d’yi bulmalıyız. Verilen ikinci esitlikten bunları bulabiliriz. Simdi dediklerimizi yapmaya baslayalım, sonra da baska bir yol daha gösterelim. olacagından a10 + a1 = 4’tür. Diger yandan a10 – a1 = 8 verildiginden a1 = –2 bulunur. Gerisi yukardaki gibi 24. Bir aritmetik dizide ilk n terimin toplamı ise bu dizinin 8’inci terimi kaçtır?Çözüm İşte en begendigim soru tarzı bu. Çözümü çok zekice. 8’inci terimi söyle bulacagız İlk 8 terimin toplamından, ilk 7 terimin toplamını çıkartacagız. Soru 25. Bir aritmetik dizide ilk n terimin toplamı ise a15 kaçtır?Çözüm Bu sefer ilk 15 terim toplamından ilk 14 terim toplamını çıkartacagız. Soru 26. Bir aritmetik dizide 42’nci terim 101, 30’uncu terim 61 ise bu dizinin ilk 71 teriminin toplamı kaçtır?Çözüm Soru 27. Bir aritmetik dizide 29’uncu terim 37, 17’nci terim 15 ise bu dizide S45 kaçtır?Çözüm Bir öncekiyle benzer soru oldugundan çözümü de bir öncekiyle benzer olacak. Soru 28. Bir ögrenci ilk gün bir kitaptan 10 sayfa okuyor. Diger günler ise bir önceki gün okudugundan 5 sayfa fazla okuyor. Bu ögrenci, onuncu günün sonunda toplam kaç sayfa okumus olur?Çözüm Her gün okudugu sayfa sayısındaki artıs miktarı sabit oldugundan, ilk günden itibaren her gün okunan sayfa sayıları bir aritmetik dizi olustururlar. O halde kaçtır diye algılamamız lazım soruyu. Soru 29. Bir dısbükey besgenin iç açı ölçüleri bir aritmetik dizinin ardısık bes terimini olusturacak sekildeyse, ortanca açının ölçüsü kaç derecedir?ÇözümSoru 30. Bir dısbükey besgenin iç açı ölçüleri bir aritmetik dizinin ardısık bes terimini olusturacak sekildedir. En küçük ölçüye sahip açının ölçüsü 800 ise en büyük ölçüye sahip olanın ölçüsü kaç derecedir?Çözüm Açı ölçülerini tekrar yukardaki gibi adlandıralım. Ortanca yani a3 daima 1080 olacagından ve

dizilerde en büyük en küçük terim